Question

已知．
（1）求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間x∈（0，2]為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=e^x-（1+a）x，把x=0代入得到切線的斜率k=f′（0）=1，
然后求出f（0）=1，
所以切線方程為：y-1=1×（x-0）即y=x+1；
（2）f′（x）=e^x-（1+a）x≥0在區(qū)間x∈（0，2]上恒成立
即在0＜x≤2上恒成立．
令
當x=1時有最小值e
所以a＜e-1．
分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，把x=0代入到導函數(shù)中求出切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）由f（x）在x∈（0，2]為增函數(shù)得到導函數(shù)在區(qū)間x∈（0，2]上恒大于等于0，即a+1＜在0＜x≤2上恒成立，可設g（x）=，求出其導函數(shù)=0時x的值，討論導函數(shù)的正負得到g（x）的最小值，讓a+1小于g（x）的最小值即可得到a的取值范圍．
點評：考查學生會利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所取的條件．