Question

已知函數(shù)（a＞0）．
（I）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若不等式對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：對函數(shù)f（x）求導得：f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1）…（2分）
（Ⅰ）當a=1時，f'（x）=e（x+2）（x-1）
令f'（x）＞0，解得 x＞1或x＜-2；
令f'（x）＜0，解得-2＜x＜1
所以，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2）和（1，+∞），f（x）單調(diào)減區(qū)間為 （-2，1）．…（5分）
（Ⅱ） 令f'（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，解得或x=1（16分）
當a＞0時，列表得：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（8分）
對于時，因為，所以，∴f（x）＞0 …10 分
對于時，由表可知函數(shù)在x=1時取得最小值
所以，當x∈R時，…（11分）
由題意，不等式對x∈R恒成立，
所以得，解得0＜a≤ln5…（13分）
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，由導數(shù)的正負，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）確定函數(shù)的最小值，再解不等式，即可得到a的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確求導，確定函數(shù)的最值．