Question

已知函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x₁＜x₂，判斷 f （x₁）和f （x₂）的大小，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)奇偶性的定義進行判斷．
（Ⅱ）先證明f（x）在∈[0，+∞）上是增函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)是個奇函數(shù)證明在∈（-∞，0）上也是增函數(shù)，
從而總有 f（x₁）＜f（x₂）．

解答：（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，+∞），（2分）
∵f(-x)=

-x

1+|x|

=-

x

1+|x|

=-f(x)（4分）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（5分）

（Ⅱ）先探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（i）當0≤x₁＜x₂時f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

∵0≤x₁＜x₂∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，x₁-x₂＜0
∴f （x₁）＜f （x₂），
∴當x∈[0，+∞）時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．（7分）
（ii）當x∈（-∞，0）時，由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當x∈（-∞，0）時，函數(shù)f（x）是增函數(shù) （9分），則（i）當0≤x₁＜x₂，
f（x₁）＜f（x₂），（ii）當x₁＜x₂＜0，f （x₁）＜f （x₂），
（iii）當x₁＜0≤x₂，總有 f（x₁）＜f（x₂），（11分）
綜上所述當x₁＜x₂時，總有 f（x₁）＜f（x₂）． （12分）

點評：本題考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性，基本性質(zhì)應用等基礎(chǔ)知識，同時考查邏輯推理能力．