Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中正確的為

 

（將正確的序號都填上）
①f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)；
②y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱；
③f（x）的最大值為

4 3

9

；
④y=f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的積化和差公式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①由函數(shù)f（x）=cosxsin2x，?x∈R，可得f（-x）=-f（x），因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，又f（x+2π）=f（x），可得函數(shù)f（x）是周期函數(shù)．
②由已知可得f（π-x）=f（x），可得y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱；
③f（x）=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，設(shè)sinx=t∈[-1，1]，則g（t）=2t-2t³，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
④由③可知：x∈[-

π

6

，

π

6

]，t∈[-

1

2

，

1

2

]∈[-

3

3

，

3

3

]為增函數(shù)．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=cosxsin2x，?x∈R，f（-x）=cos（-x）sin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x），因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
又f（x+2π）=cos（x+2π）sin（2x+4π）=cosxsin2x=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)．可知①正確．
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=-cosx（-sin2x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱；
③f（x）=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，設(shè)sinx=t∈[-1，1]，則g（t）=2t-2t³，g′（t）=2-6t²=-6(t+

3

3

)(t-

3

3

)，
令g′（t）＞0，解得-

3

3

＜t＜

3

3

，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；令g′（t）＜0，解得-1≤t＜-

3

3

，或

3

3

＜t≤1，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞減．
可知當(dāng)t=

3

3

時，函數(shù)g（t）取得極大值，g(

3

3

)=

4 3

9

，而g（-1）=-2+2=0＜

4 3

9

，∴函數(shù)g（t）即f（x）取得最大值為

4 3

9

，正確；
④由③可知：x∈[-

π

6

，

π

6

]，t∈[-

1

2

，

1

2

]∈[-

3

3

，

3

3

]為增函數(shù)，正確．
綜上可得：①②③④都正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了“換元法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．