已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)
，
，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a
n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意的x＞0，
，n=1，2，…；
（Ⅲ）證明：
．
【答案】
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知
，再由
，知
是以
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列．由此可知
．
（Ⅱ）由題意知
，
=
=
≤a
n，所以對(duì)任意的x＞0，
，n=1，2，…．
（Ⅲ）由題意知，對(duì)任意的x＞0，有
=
．由此入手能夠求出
．
解答：解：（Ⅰ）∵
，∴
，
∴
，
又
，
∴
是以
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列．
∴
，∴
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
=
=
=
=
≤a
n，
∴原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對(duì)任意的x＞0，有
=
．
∴取
，
則
．∴原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)a
1=
，前n項(xiàng)和S
n=n
2a
n（n≥1）．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b
1=0，b
n=
(n≥2)，T
n為數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和，求證：
Tn＜．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)為a
1=2，前n項(xiàng)和為S
n，且對(duì)任意的n∈N
*，當(dāng)n≥2，時(shí)，a
n總是3S
n-4與
2-Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b
n=（n+1）a
n，T
n是數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和，n∈N
*，求T
n．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：
題型：
（2013•江門(mén)一模）已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)a
1=1，若?n∈N
*，a
n•a
n+1=-2，則a
n=
| | 1，n是正奇數(shù) | | -2，n是正偶數(shù) |
| |
| | 1，n是正奇數(shù) | | -2，n是正偶數(shù) |
| |
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)為a
1=3，通項(xiàng)a
n與前n項(xiàng)和s
n之間滿足2a
n=S
n•S
n-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列
{}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a
n}中的最大項(xiàng)．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的首項(xiàng)
a1=，
an+1=，n∈N
+（Ⅰ）設(shè)
bn=-1證明：數(shù)列{b
n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和S
n．
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