Question

雙曲線(xiàn)與橢圓4x²+y²=1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線(xiàn)方程為y=

2

x，則這個(gè)雙曲線(xiàn)的方程為（　　）

A．2x²-4y²=1

B．2x²-4y²=3

C．2y²-4x²=1

D．2y²-4x²=3

Answer 1

分析：將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±

3

2

），因此設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1(0＜m＜

3

4

)，根據(jù)漸近線(xiàn)方程建立關(guān)于m的等式，算出m的值即可得到該雙曲線(xiàn)的方程．

解答：解：∵橢圓4x²+y²=1化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

x2

1 4

+y2=1
∴橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a²=1且b²=

1

4

，可得c=

a2-b2

=

3

2

由于雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓相同，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1(0＜m＜

3

4

)
∵雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)方程為y=

2

x，
∴

m 3 4 -m

=

2

，解之得m=

1

2

，可得雙曲線(xiàn)的方程為

y2

1 2

-

x2

1 4

=1，即2y²-4x²=1
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)與橢圓有相同焦點(diǎn)，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．