Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：的左、右兩個焦點，橢圓C上一點P（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4．又直線l：y=x+m與橢圓C有兩個不同的交點A、B，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點F₁，求△ABF₂的面積；
（Ⅲ）求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)可知，橢圓的焦點在x軸上，且2a=4，即a=2． （1分）
又點A（1，）在橢圓上，∴，解得b²=3．（2分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是． （3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c²=a²-b²=1，即c=1，
∴F₁、F₂兩點的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，0）． （4分）
∵直線l：y=x+m經(jīng)過點F₁（-1，0），
∴0=×（-1）+m，∴m=． （5分）
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由題意，有
，消去x，整理得16y²-12y-9=0，
∴y₁+y₂=，y₁y₂=-． （6分）
設(shè)△ABF₂的面積為S_ABF2，則
S_ABF2=|F₁F₂||y₂-y₁|=×2=
（Ⅲ）設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則由題意，有
，消去y，整理得x²+mx+m²-3=0 ①
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3．
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+（x₁+x₂）m+m²
=（m²-3）+（-m）m+m²=m²-． （10分）
∴=x₁x₂+y₁y₂=m²-3+m²-=m²-，（11分）
又由①得，△=m²-4（m²-3）=-3m²+12，
∵A、B為不同的點，∴△＞0，∴0≤m²＜4．
∴-≤．
∴的取值范圍是[-，）． （14分）
分析：（Ⅰ）由題設(shè)可知，橢圓的焦點在x軸上，求出a=2，又點A（1，）在橢圓上，解得b，最后寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁、F₂兩點的坐標(biāo)；直線l：y=x+m經(jīng)過點F₁求得m，設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得△ABF₂的面積，從而解決問題．
（Ⅲ）設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式即可求得求的取值范圍．
點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、平面向量數(shù)量積的運算、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．