Question

已知函數f(x)=

x+ 1 x ，x∈[-2，-1) -2，x∈[-1， 1 2 ) x- 1 x ，x∈[ 1 2 ，2]

（1）判斷當x∈[-2，1）時，函數f（x）的單調性，并用定義證明之；
（2）求f（x）的值域
（3）設函數g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，若對于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[-2，1），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化簡到能判斷符號為止，利用函數單調性的定義，即可證明．
（2）根據（1）中的函數的單調性，即可求得f（x）在[-2，1）上的值域，同理，利用函數的單調性求得f（x）在[

1

2

，2]上的值域，f（x）在[-1，

1

2

）上恒等于-2，取三種情況中值域的并集，即可求得f（x）的值域A；
（3）對一次項系數a進行分類討論，當a=0時，對于任意x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]，不符合題意，當a≠0時，g（x）的值域為B=[-2|a|-2，2|a|-2]，因為對于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）成立，則將問題轉化為f（x）的值域A⊆B，利用集合的子集的運算，列出關于a的不等式組，求解即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）在[-2，-1）上是增函數，
證明：∵當x∈[-2，1）時，f（x）=x+

1

x

，
∴任取x₁，x₂∈[-2，1），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1＜x₁x₂，
∴1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=（x₁-x₂）(1-

1

x1x2

)＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-2，-1）上是增函數；
（2）由（1）可知，f（x）=x+

1

x

在[-2，-1）上是增函數，
∴當x∈[-2，-1）時，f（-2）≤f（x）＜f（-1），
∴f（x）∈[-

5

2

，-2)，
當x∈[

1

2

，2]時，f（x）=x-

1

x

，
∵y=x在[

1

2

，2]上為單調遞增函數，y=

1

x

在[

1

2

，2]上為單調遞減函數，
∴f（x）在[

1

2

，2]上為單調遞增函數，
∴x∈[

1

2

，2]時，f（

1

2

）≤f（x）≤f（2），
∴f（x）∈[-

3

2

，

3

2

]，
當x∈[-1，

1

2

）時，f（x）=-2，
綜上所述，f（x）的值域為A=[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]；
（3）∵函數g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，
①當a=0時，g（x）=-2，
對于任意x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]，
∴不存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
∴a=0不符合題意；
②當a≠0時，設g（x）的值域為B，
∴B=[-2|a|-2，2|a|-2]，
∵對于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）成立，
∴A⊆B，
∴

-2|a|-2≤- 5 2 2|a|-2≥ 3 2

，即

|a|≥ 1 4 |a|≥ 7 4

，
∴|a|≥

7

4

，
∴a≤-

7

4

或a≥

7

4

，
∴實數a的取值范圍是（-∞，-

7

4

]∪[

7

4

，+∞）．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，函數最值得應用．注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．對于函數的值域的求解，要注意考慮定義域的取值，再根據函數的解析式進行判斷該使用何種方法求解值域，本題選用了利用函數的單調性求解函數的值域．屬于中檔題．