Question

已知直線l：y=x+m與拋物線y²=8x交于A、B兩點(diǎn)，
（1）若|AB|=10，求m的值；
（2）若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用弦長(zhǎng)公式可求；
（2）由于OA⊥OB，從而有x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理可得方程，從而求出m的值．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）

y=x+m y2=8x

⇒x²+（2m-8）x+m²=0------------------------------（1分）
⇒

△=(2m-8)2-4m2＞0 x1+x2=8-2m x1x2=m2

-----------------------------------------------（3分）|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=10，m=

7

16

----（5分）
∵m＜2，∴m=

7

16

---------------------------------------------------------（6分）
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0------------------------------------（7分）
x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0-----------------------------------------（9分）
2m²+m（8-2m）+m²=0，m²+8m=0，m=0orm=-8，---------------------------------（11分）
經(jīng)檢驗(yàn)m=-8------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理得運(yùn)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．