Question

（2012•河北區(qū)一模）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程：如圖1，在區(qū)間（0，1）中數(shù)軸上的點(diǎn)M對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)m；如圖2，將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合；如圖3，將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），射線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0）．則n就是m的象，記作f（m）=n．

下列說法：
①f（x） 的定義域?yàn)椋?，1），值域?yàn)镽；
②f（x） 是奇函數(shù)；
③f（x） 在定義域上是單調(diào)函數(shù)；
④f（

1

4

）=-

1

2

；
⑤f（x） 的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)是

①③⑤

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①通過M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及直線的變化可求定義域和值域．
②由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可判斷函數(shù)不是奇函數(shù)．
③在圓上，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，可判斷函數(shù)的單調(diào)性．
④當(dāng)m=

1

4

時(shí)，此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，此時(shí)可以求出對(duì)應(yīng)直線AM的方程，進(jìn)而可求n．
⑤根據(jù)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程，可知函數(shù)的對(duì)稱性．

解答：解：①因?yàn)閳D中展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），值域?yàn)镽．所以①正確．
②由①知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，所以②錯(cuò)誤．
③圖3可以看出，m由0增大到1時(shí)，M由A運(yùn)動(dòng)到B，此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增．所以③正確．
④因?yàn)锳B=1，所以圓的周長為1，由2πr=1，所以解得圓的半徑r=

1

2π

，所以圓心坐標(biāo)為（0，1-

1

2π

）．當(dāng)m=

1

4

時(shí)，此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，此時(shí)M的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），對(duì)應(yīng)直線AM的方程為y=x+1．當(dāng)y=0，時(shí)，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（

1

4

）=-1．所以④錯(cuò)誤．
⑤圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱，所以⑤正確．
所以正確命題的序號(hào)是①③⑤．
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的閱讀和分析能力．本題難度較大，正確閱讀題意知解題的關(guān)鍵．