【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(無(wú)需證明) ;
(Ⅲ)若實(shí)數(shù)滿足,則稱為的二階不動(dòng)點(diǎn),求函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ),;(Ⅲ)3.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)解析式,由內(nèi)而外逐步代入即可求出結(jié)果;
(Ⅱ)根據(jù)題意,得到函數(shù)的解析式,進(jìn)而可得出其單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)先由題意,得到,分別討論,,三種情況,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理,即可求出結(jié)果.
(Ⅰ)因?yàn)?/span>,,所以,
所以.
.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),,遞減區(qū)間為:;
當(dāng)時(shí),,遞減區(qū)間為;
因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為:,.
(Ⅲ)由題可得:.
當(dāng)時(shí),由,記,
則在上單調(diào)遞減,且,,
故在上有唯一零點(diǎn),即函數(shù)在上有唯一的二階不動(dòng)點(diǎn).
當(dāng)時(shí),由,得到方程的根為,即函數(shù)在上有唯一的二階不動(dòng)點(diǎn).
當(dāng)時(shí),由,記,
則在上單調(diào)遞減,且,,
故在上有唯一零點(diǎn),即函數(shù)在上有唯一的二階不動(dòng)點(diǎn).
綜上所述,函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)有3個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若以點(diǎn)為圓心的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)均為4,求證:圓恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸,離心率為,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交于, 兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線,不等式 恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形中, , 與交于點(diǎn),現(xiàn)將沿折起得到三棱錐, , 分別是, 的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)若三棱錐的最大體積為,當(dāng)三棱錐的體積為,且二面角為銳角時(shí),求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù),定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是偶函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)值;
(Ⅱ)判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明;
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意的,不等式恒成立.若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線右支上的一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于,兩點(diǎn).若點(diǎn),分別位于第一,四象限,為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí),為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用,需了解年宣傳費(fèi)x(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷量y(單位:噸)和年利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)的影響.對(duì)近6宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,3,4,5,6)的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣傳費(fèi)x(萬(wàn)元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年銷售量y(噸) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x(萬(wàn)元)與年銷售量y(噸)之間近似滿足關(guān)系式y=axb(a,b>0),即lny=blnx+lna.,對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(Ⅰ)從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研,求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于20噸的概率.
(Ⅱ)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(Ⅲ) 若生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為200(萬(wàn)元),且每生產(chǎn)1(噸)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20(萬(wàn)元)(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本+年宣傳費(fèi)),銷售收入為(萬(wàn)元),假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),則2019年該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi)才能使利潤(rùn)最大?(其中)
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下判斷正確的是 ( )
A. 函數(shù)為上的可導(dǎo)函數(shù),則是為函數(shù)極值點(diǎn)的充要條件
B. 若命題為假命題,則命題與命題均為假命題
C. 若,則的逆命題為真命題
D. 在中,“”是“”的充要條件
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