Question

設正實數a，b滿足a+b=2，則

1

a

+

a

8b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數的綜合應用

分析：由a+b=2，可得b=2-a＞0，0＜a＜2．代入

1

a

+

a

8b

=

1

a

+

a

8(2-a)

=f（a），利用導數研究其單調性極值最值即可．

解答： 解：∵正實數a，b滿足a+b=2，
∴b=2-a＞0，
∴0＜a＜2．
∴

1

a

+

a

8b

=

1

a

+

a

8(2-a)

=

1

a

+

2-(2-a)

8(2-a)

=

1

a

+

1

4(2-a)

-

1

8

=f（a），
則f′(a)=-

1

a2

+

1

4(2-a)2

=

(4-a)(3a-4)

4a2(2-a)2

，
令f′（a）=0，解得a=

4

3

．
當0＜a＜

4

3

時，f′（a）＜0，此時函數f（a）單調遞減；當

4

3

＜a＜2時，f′（a）＞0，此時函數f（a）單調遞增．
因此當a=

4

3

時，函數f（a）取得極小值即最小值，f(

4

3

)=

1

4 3

+

1

4(2- 4 3 )

-

1

8

=

3

4

+

3

8

-

1

8

=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，屬于中檔題．