Question

給定為整數(shù)的k（k∈N^*）叫做希望數(shù)，則區(qū)間[1，2012]內(nèi)的所有希望數(shù)的和為    ．

Answer 1

【答案】分析：可利用對(duì)數(shù)換底公式將a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），轉(zhuǎn)化為a_n=，從而可求得第一個(gè)希望數(shù)為2，
第二個(gè)希望數(shù)為6，…第k個(gè)希望數(shù)為2^k-2，利用數(shù)列的分組求和法即可求得答案．
解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=，
∴a₁•a₂=•=2，即第一個(gè)希望數(shù)為2=2²-2，
又a₁•a₂…a₆=•…=3，
∴第二個(gè)希望數(shù)為6=2³-2，
…
∴第k個(gè)希望數(shù)為2^k+1-2，
∵2¹⁰=1024＜2012，2¹¹=2048＞2012，
∴區(qū)間[1，2012]內(nèi)的所有希望數(shù)的和
S=（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=-18
=2¹¹-22
=2048-22
=2026．
故答案為：2026．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查對(duì)數(shù)的換底公式的應(yīng)用與數(shù)列的分組求和法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，有一定難度，屬于中檔題．