Question

如圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁上一點(diǎn)，PM⊥BB₁交AA₁于點(diǎn)M，PN⊥BB₁交CC₁于點(diǎn)N.

(1)求證：CC₁⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.

Answer 1

思路分析：考慮到三個(gè)側(cè)面的面積需要作出三個(gè)側(cè)面的高，由已知條件可得△PMN為三棱柱的直截面，選取三棱柱的直截面三角形作類比對(duì)象.

(1)證明：∵PM⊥BB₁,PN⊥BB₁,

∴BB₁⊥平面PMN.

∴BB₁⊥MN.

又CC₁∥BB₁，∴CC₁⊥MN.

(2)解析：在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有

cosα.

其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所成的二面角.

∵CC₁⊥平面PMN,

∴上述的二面角的平面角為∠MNP.

在△PMN中.PM²=PN²+MN²-2PN·MNcos∠MNP

PM²·CC₁²=PN²·CC₁²+MN²·CC₁²-2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP，

由于=PN·CC₁，=MN·CC₁，=PM·BB₁=PM·CC₁，

∴有²=²+²-2··cosα.