Question

6．若0≤x≤1時(shí)，不等式1-mx≤$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$≤1-nx恒成立，求m，n的取值范圍．

Answer 1

分析 討論當(dāng)x=0時(shí)，原不等式恒成立，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，原不等式即為-m≤$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$≤-n，$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$的幾何意義是點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（x，$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$）兩點(diǎn)的斜率，由恒成立思想即可得到所求范圍．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，原不等式即為1≤1≤1顯然成立；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，原不等式即為-m≤$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$≤-n，
$\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x-0}$的幾何意義是點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（x，$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$）兩點(diǎn)的斜率，
由于（0，1）在函數(shù)y=$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$的圖象上，且區(qū)間（0，1]為減區(qū)間．
則（0，1）與（1，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，
且在（0，1]恒有斜率不大于$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，
即有-n≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，-m≤0，
則為m≥0，n≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，考查兩點(diǎn)的斜率的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．