Question

定義數(shù)列{a_n}：a₁=1，當(dāng)n≥2 時，，其中，r≥0常數(shù)。
（1） 當(dāng)r=0時，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n。
①求：S_n；
②求證：數(shù)列{S_2n}中任意三項均不能夠成等差數(shù)列。
（2） 求證：對一切n∈N*及r≥0，不等式恒成立。

Answer 1

解：（1）當(dāng)r=0時，計算得數(shù)列的前8項為：1，1，2，2，4，4，8，8，
從而猜出數(shù)列均為等比數(shù)列。
∵，
∴數(shù)列均為等比數(shù)列，∴。
①∴，
，
∴。
②證明（反證法）：假設(shè)存在三項是等差數(shù)列，即成立。
因m，n，p均為偶數(shù)，設(shè)，
∴，即，
∴，
而此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，這就矛盾。
（2）∵，
∴，
∴是首項為1+2r，公比為2的等比數(shù)列，∴。
又∵，
∴，
∴是首項為1+2r，公比為2的等比數(shù)列，∴，
∴

，
∴
，
∵r≥0，
∴，∴。