Question

（2008•湖北模擬）箱子中裝有大小相同的2個紅球、8個黑球，每次從中摸取1個球．每個球被取到可能性相同．
（1）若每次取球后不放回，求取出3個球中至少有1個紅球的概率．
（2）若每次取出后再放回，求第一次取出紅球時，已取球次數(shù)的分布及數(shù)學(xué)期望．（要求寫出期望過程）

Answer 1

分析：（1）取出3個球中至少有1個紅球分兩類：取出3個球中只有1個紅球和取出3個球中有2個紅球，利用古典概型的概率公式求出取出3個球中至少有1個紅球的概率．
（2）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出隨機(jī)變量取每一個值的概率值，列出分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式求出取球次數(shù)的分布及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）取出3個球中至少有1個紅球的概率為：

C 1 2 C 2 8 + C 2 2 C 1 8

C 3 10

=

8

15

（4分）
（2）設(shè)取球次數(shù)為ξ
∵P(ξ=k)=(

4

5

)k-1(

1

5

)
所以ξ的分布列為：

?	1	2	3	…	n	…
P	1 5	4 5 × 1 5	( 4 5 )2 1 5	…	( 4 5 )n-1 1 5	…

Eξ=1×

1

5

+2×

4

5

×

1

5

+3×(

4

5

)2×

1

5

+…+n(

4

5

)n-1(

1

5

)+…

4

5

Eξ=1×

4

5

×

1

5

+2×(

4

5

)2×

1

5

+…+(n-1)(

4

5

)n-1(

1

5

)+n(

4

5

)n(

1

5

)+…
∴

1

5

Eξ=

1

5

+

4

5

×

1

5

+(

4

5

)2×

1

5

+…+(

4

5

)n-1(

1

5

)+…
Eξ=1+

4

5

+(

4

5

)2+…+(

4

5

)n-1+…=

1

1- 4 5

=5

點(diǎn)評：本題考查相互對立事件的概率乘法公式、隨機(jī)變量的分布列的取法及隨機(jī)變量的期望公式，是一道中檔題．