Question

設(shè)直線(xiàn)y=x+b與橢圓

x2

2

+y2=1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，求|

AB

|．

Answer 1

分析：（1）由直線(xiàn)y=x+b 與

x2

2

+y2=1由2個(gè)交點(diǎn)可得方程

y=x+b x2 2 +y2=1

有2個(gè)不同的解，整理得3x²+4bx+2b²-2=0有2個(gè)解△=16b²-12（2b²-2）＞0，解不等式可求
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)b=1 時(shí)，可求A，B的坐標(biāo)，代入公式|

AB

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

可求或利用弦長(zhǎng)公式

解答：解：（1）將y=x+b 代入

x2

2

+y2=1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0．①…（2分）
因?yàn)橹本�(xiàn)y=x+b 與橢圓

x2

2

+y2=1 相交于A，B 兩個(gè)不同的點(diǎn)，
∴△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0（4分）
∴-

3

＜b＜

3

（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)b=1 時(shí)，方程①為3x²+4x=0．…（8分）
解得x1=0，x2=-

4

3

．
此時(shí)y1=1，y2=-

1

3

（10分）
∴|

AB

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 2

3

（12分）
（利用弦長(zhǎng)公式也可以）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用是解答直線(xiàn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系的常用工具，要注意體會(huì)掌握