Question

已知函數= （，

（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（2）若函數與的圖像有兩個不同的交點，求的取值范圍。

（3）設點和（是函數圖像上的兩點，平行于的切線以為切點，求證.

 

Answer 1

（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）求導，利用導數的正負確定函數的單調區(qū)間；（2）構造函數，將圖像的交點個數轉化為函數的零點個數，通過函數的極值的正負求參數的值；（3）構造函數，利用放縮法合理轉化.

規(guī)律總結：利用導數研究函數的單調性、極值、最值及與函數有關的綜合題，都體現了導數的重要性；此類問題往往從求導入手，思路清晰；但綜合性較強，需學生有較高的邏輯思維和運算能力.

試題解析：(1)記，則的定義域為.

當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增.

由得，即，

令，；

當時，，則單調遞增，且；

當時，，則單調遞減，且，

所以在處取到最大值；

故要使與有兩個不同的交點，只需.

(3）由已知：，所以

由，故

同理

綜上所述得.

考點：1.函數的單調性；2.函數的零點；3.放縮法.