Question

在數(shù)列{an}中，如果存在非零常數(shù)T ，使得對于任意的非零自然數(shù) 均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中T 叫數(shù)列的周期。已知數(shù)列滿足 (n≥2)，如果，當數(shù)列的周期最小時，該數(shù)列前2012項的和是              （   ）

A．670

B．671

C．1341

D．1340

Answer 1

D

解：題目中給出了新名詞，首先要弄清題意中所說的周期數(shù)列的含義，然后利用這個定義，針對題目中的數(shù)列的周期情況分類討論，從而將a值確定，進而將數(shù)列的前2 010項和確定。解：若其最小周期為1，則該數(shù)列是常數(shù)列，即每一項都等于1，此時a=1，
該數(shù)列的項分別為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此時該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列；
若其最小周期為2，則有a₃=a₁，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此時該數(shù)列的項依次為1，2，1，1，0，…，由此可見，此時它并不是以2為周期的數(shù)列．
綜上所述，當數(shù)列{x_n}的周期最小時，其最小周期是3，a=1，又2 010=3×670，
故此時該數(shù)列的前2 010項和是670×（1+1+0）=1340．