Question

設(shè)約束條件為

x+2y≤6 2x+y≤6 x≥0，y≥0

，則目標(biāo)函數(shù)z=|2x-y+1|的最大值是

7

．

Answer 1

分析：法一：先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=|2x-y+1|=

5

×

|2x-y+1|

5

，其中

|2x-y+1|

5

表示點(diǎn)（x，y）到直線2x-y+1=0的距離，再利用z幾何意義是點(diǎn)到直線的距離的

5

倍求最值，只需求出可行域內(nèi)的點(diǎn)A（3，0）時(shí)距離取得最大值，從而得到z最大值即可．
法二：先根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，然后平移直線y=2x+1，當(dāng)過點(diǎn)（3，0）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，過點(diǎn)（0，3）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，從而求出2x-y+1的范圍，最后得出所求．

解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，
法一：平移直線y=2x+1，由圖易得，當(dāng)x=3，y=0時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)2x-y+1的最大值為7；當(dāng)x=0，y=3時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)2x-y+1的最小值為-2；從而得出目標(biāo)函數(shù)z=|2x-y+1|的最大值是 7．
法二：z=|2x-y+1|=

5

×

|2x-y+1|

5

，
其中

|2x-y+1|

5

表示點(diǎn)（x，y）到直線2x-y+1=0的距離，
∵可行域內(nèi)點(diǎn)A（3，0）時(shí)
可行域內(nèi)點(diǎn)到直線2x-y+1=0的距離最大，最大值為

|6-0+1|

5

=

7

5

，
∴目標(biāo)函數(shù)z=|2x-y+1|的最大值為7，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．