Question

設(shè)f（x）=lg，如果當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)f（x）=lg有意義的函數(shù)問題，
轉(zhuǎn)化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．
不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即：a＞-[（）^2x+（）^x]在x∈（-∞，1]上恒成立．
設(shè)t=（）^x，則t≥，又設(shè)g（t）=t²+t，其對稱軸為t=-
∴g（t）=t²+t在[，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)t=時(shí)，g（t）有最小值g（）=（）²+=
所以a的取值范圍是a＞-．
分析：f（x）有意義，則真數(shù)大于0，所以問題轉(zhuǎn)化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決．注意到4^x=（2^x）²，換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題．
點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域、不等式恒成立問題，考查換元法和轉(zhuǎn)化思想．