設(shè)直線?與橢圓
x2
25
+
y2
16
=1相交于A、B兩點(diǎn)，?又與雙曲線x2-y2=1相交于C、D兩點(diǎn)，C、D三等分線段AB．求直線?的方程．
分析：先看當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）直線方程分別橢圓和雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x3+x4的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)
AC
=
DB
求得k=0或b=0，分別求得k=0時(shí)和b=0時(shí)直線方程；進(jìn)而看直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|
AB
|=3|
CD
|求得c，最后綜合可得答案．
解答：解：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的情況，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，
精英家教網(wǎng)
l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
依題意有
AC
=
DB
，
AB
=3
CD
，
由
y=kx+b
x2
25
+
y2
16
=1
得(16+25k2)x2-2bkx+(25b2-400)=0(1)
∴x1+x2=-
50bk
16+25k2

由
y=kx+b
x2-y2=1
得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0(2)
若k=±1，則與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k≠±1∴x3+x4=
2bk
1-k2

由
AC
=
DB
?x3-x1=x2-x4?x1+x2=x3+x4?-
50bk
16+25k2
=
2bk
1-k2
?bk=0?k=0或b=0
(i)當(dāng)k=0時(shí)，由(1)得x1，2=±
5
4
16-b2
，由(2)得x3，4=±
b2+1

由
AB
=3
CD
?x2-x1=3(x4-x3)，即
10
4
16-b2
=6
b2+1
?b=±
16
13

故l的方程為y=±
16
13

（ii）當(dāng)b=0時(shí)，由（1）得x1，2=±
20
16+25k2
，由(2)得x3，4=±
1
1-k2

由由
AB
=3
CD
?x2-x1=3(x4-x3)即
40
16+25k2
=
6
1-k2
?k=±
16
25

故l的方程為y=±
16
25
x
再討論l與x軸垂直的情況．
設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，y1，2=±
4
5
25-c2
，y3，4=±
c2-1
由|
AB
|=3|
CD
|?|y2-y1|=3|y4-y3|即
8
5
25-c2
=6
c2-1
?c=±
25
241
241
故l的方程為x=±
25
241
241
綜上所述，
故l的方程為y=±
16
13
、y=±
16
25
x和x=±
25
241
241
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，
2
)且斜率為k的直線l與橢圓
x2
2
+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線l與橢圓
x22
+y2=1交于p1、P2兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段p1P2的中點(diǎn)．設(shè)直線l的斜率為k1（k1≠0），直線OP的斜率為k2，則k1k2=
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線m與橢圓
x22
+y2=1交于P1，P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1（k1≠0），直線OP的斜率為k2，求k1k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線l與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點(diǎn)P1、P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線l的斜率為k1（k1≠0），直線OP的斜率為k2（O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則k1•k2的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列五個(gè)命題：
①已知直線a，b和平面α，若a∥b，b∥α，則a∥α；
②平面上到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是一條拋物線；
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），則直線y=
b
a
x+m（m∈R）與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直；
⑤過(guò)M（2，0）的直線l與橢圓
x2
2
+y2=1交于P1P2兩點(diǎn)，線段P1P2中點(diǎn)為P，設(shè)直線l斜率為k1（k≠0），直線OP的斜率為k2，則k1k2等于-
1
2
．
其中，正確命題的序號(hào)為
④⑤
④⑤
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案