Question

以拋物線的焦點弦為直徑的圓與其準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（　　）

• A、相切
• B、相交
• C、相離
• D、以上均有可能

Answer 1

分析：設(shè)拋物線為標(biāo)準(zhǔn)拋物線：y²=2px （p＞0 ），過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M且到準(zhǔn)線的距離是d．設(shè)P到準(zhǔn)線的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d₂=|QF|．結(jié)合中位線的定義與拋物線的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑．，進(jìn)而得到答案．

解答：解：不妨設(shè)拋物線為標(biāo)準(zhǔn)拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側(cè)，以X軸為對稱軸．
設(shè)過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M，M到準(zhǔn)線的距離是d．
而P到準(zhǔn)線的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d₂=|QF|．
又M到準(zhǔn)線的距離d是梯形的中位線，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由拋物線的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑．
所以圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
所以圓與準(zhǔn)線是相切．
故答案為A．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系的判定．