橢圓C的中心在原點(diǎn)，并以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線的準(zhǔn)線到原點(diǎn)的距離為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+2（k≠0）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l′：y=mx+1（m≠0）對稱，求k的值．
【答案】分析：（1）確定雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線方程，利用條件，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）根據(jù)題設(shè)，可得，利用，結(jié)合弦AB的中點(diǎn)在直線上，即可求得k的值．
解答：解：（1）在雙曲線中，，
∴焦點(diǎn)為．
在拋物線中，，∴準(zhǔn)線為．
∴在橢圓中，．從而．
∴所求橢圓C的方程為．
（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P（x，y），則點(diǎn)P是直線l與直線l′的交點(diǎn)，且直線l⊥l′，∴．
由得：，∴ky=-3x．…①
由得：ky=-x+k．…②
由①、②得：．
又∵y=kx+2，∴，即k2=1，∴k=±1．
在y=kx+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即直線l經(jīng)過定點(diǎn)M（0，2）．
而定點(diǎn)M（0，2）在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓一定相交于兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴k的值為±1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查雙曲線、拋物線的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)F1、F2組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求直線MF1的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4
6
x的焦點(diǎn)相同，又橢圓C上有一點(diǎn)M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當(dāng)MA、MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時(shí)，求直線l在y軸上截距的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為
2
2
，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，且與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，
2
)，離心率為e=
2
2
，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為1的橢圓C上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA、PB分別交橢圓C于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•宜賓一模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
1
2
，短軸長為4
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，-n）是橢圓C上兩個(gè)定點(diǎn)，A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．
①若直線AB的斜率為
1
2
，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠APQ=∠BPQ時(shí)，直線AB的斜率是否為定值，說明理由．

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