正三棱柱ABC－A1B1C1底面邊長及高都為2，過AB作一個與底面成60°角的截面

(1)求截面面積

(2)求直線BC與截面成角的大小

(3)求點A1到截面的距離

答案：
解析：

　　解：(1)過C作CD⊥AB于D，則D為AB的中點，CD＝

　　∵CC1/CD＝2/

　　∴∠CDC1＜60°，過AB作的截面與CC1的交點E必在CC1的延長線上，設(shè)截面交A1C1、B1C1分別為Q、P，則梯形ABPQ面積S即為所求，CE＝CDtan60°＝3，S＝(QP＋AB)RD/2＝16/9

　　(3)過C作CH⊥DE于H，∵平面CED⊥平面ABPQ，交線為DR

　　∴CH⊥平面ABPQ，∠CBH即為CB與截面ABPQ成角　CH＝CDsin60°＝3/2

　　sin∠CBH＝CH/CB＝3/4，CB與截面ABPQ成角為arcsin

　　(3)方法一：因A1Q∶QC1＝2∶1，A1到截面的距離為C1到截面距離的2倍，過C1作C1K⊥DE于H，C1K即為C1到面ABE的距離，C1K＝C1Rsin60°＝1/2，A1到截面的距離為1

　　方法二：棱柱A1－QPE的高h(yuǎn)即為所求，據(jù)VA－QPE＝VE－AQP，解得h＝1

　　說明：該題第一問容易錯將截面當(dāng)成三角形而求錯；求空間量的試題一般有：“(作出)——證出——指出——求出”四個步驟要點，容易在此點上丟三落四；本題的(3)還蘊涵了等價轉(zhuǎn)換的思想方法．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是
3
，D是AC的中點．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求三棱錐A1-ABD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為線段A1C1中點．
（Ⅰ）求證：BC1∥平面AB1D；
（Ⅱ）若AA1=
3
，二面角A-B1D-A1的大小為600，求線段 AB 的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

【注意：本題的要求是，參照標(biāo)①的寫法，在標(biāo)號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當(dāng)步驟，完成(Ⅰ)證明的全過程；并解答(Ⅱ)．】

如圖：在正三棱柱ABC－A1 B1 C1中，AB==a，E，F分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求證：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱錐A1－AEF的體積．

(Ⅰ)證明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長FE與CB延長線交于D，連結(jié)AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

【注意：本題的要求是，參照標(biāo)①的寫法，在標(biāo)號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當(dāng)步驟，完成(Ⅰ)證明的全過程；并解答(Ⅱ)．】

如圖：在正三棱柱ABC－A1 B1 C1中，AB==a，E，F分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求證：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱錐A1－AEF的體積．

(Ⅰ)證明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長FE與CB延長線交于D，連結(jié)AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年高考數(shù)學(xué)文科(湖南卷) 題型：044

如圖3，在正三棱柱ABC－A1，B1，C1中，AB＝4，AA1＝，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥A1E

(Ⅰ)證明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；

(Ⅱ)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值

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