Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當x∈[-1，0）時，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（1）若f（x）在[0，1]上為單調增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調性，然后利用函數(shù)在x∈[-1，0）時為增函數(shù)得到含有a的不等式，即a＞

2x1+2x2

2x12x2

=

1

2x1

+

1

2x2

，結合-1≤x₁＜x₂＜0即可求得a的范圍；
（2）由f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)求得a=1，得到函數(shù)在[0，1]上的解析式，換元后利用配方法求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且x∈[-1，0）時，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
∴要使f（x）在[0，1]上為單調增函數(shù)，則x∈[-1，0）時，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）為得到增函數(shù)，
設-1≤x₁＜x₂＜0，
則f(x1)-f(x2)=

1

4x1

-

a

2x1

-

1

4x2

+

a

2x2

=

4x2-a•2x1•4x2-4x1+a•2x2•4x1

4x1•4x2

=

(2x2-2x1)(2x1+2x2-a•2x12x2)

4x14x2

＜0，
∴2x1+2x2＜a•2x12x2，
即a＞

2x1+2x2

2x12x2

=

1

2x1

+

1

2x2

，
∵-1≤x₁＜x₂＜0，
∴

1

2x1

，

1

2x2

∈(1，2]，
∴

1

2x1

+

1

2x2

＜4，
則a≥4；
（2）∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f(0)=

1

40

-

a

20

=0，解得a=1，
即當x∈[-1，0]時的解析式f（x）=

1

4x

-

1

2x

，
當x∈[0，1]時，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=-f（-x）=-(

1

4-x

-

1

2-x

)=2x-4x．
令t=2^x（t∈[1，2]）
則2^x-4^x=t-t²，
令y=t-t²（t∈[1，2]），
則可得當t=1時，y有最大值0，
∴f（x）在[0，1]上的最大值為0．

點評：本題考查了函數(shù)單調性和奇偶性的性質，訓練了函數(shù)單調性的證明方法，考查了函數(shù)解析式的求法，訓練了利用換元法和配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．