Question

已知函數(shù)f（t）滿足對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：對一切大于1的正整數(shù)t，恒有f（t）＞t；
（3）試求滿足f（t）=t的整數(shù)t的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，進行賦值，分別令x=y=0，x=y=-1，x=1，y=-1即可求f（1）；
（2）對抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，令x=n，y=1，代入化簡即可證明；
（3）對抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，令y=-x，討論x為整數(shù)的情況，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與方程問題解決即可．
解答：解：（1）x=y=0得f（0）=-1
x=y=-1得f（-2）=2f（-1）+2
而f（-2）=-2，∴f（-1）=-2
x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）
∴f（1）=1．

（2）x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）+n+1=f（n）+n+2
∴f（n+1）-f（n）=n+2，
∴當(dāng)n∈N₊時，f（n）=f（1）+[3+4++（n+1）]=則f（n）-n=
而當(dāng)n∈N₊，且n＞1時，n²+n-2＞0，
∴f（n）＞n，則對一切大于1的正整數(shù)t，恒有f（t）＞t．

（3）∵y=-x時f（x-x）=f（x）+f（-x）+1-x²
∴f（x）=x²-2-f（-x）
∵當(dāng)x∈N₊時由（2）知
當(dāng)x=0時，f（0）=-1=
當(dāng)x為負(fù)整數(shù)時，-x∈N₊，則，
∴
故對一切x∈Z時，有
∴當(dāng)t∈Z時，由f（t）=t得t²+t-2=0，即t=1或t=2
∴滿足f（t）=t的整數(shù)t有兩個．
點評：本題考查抽象函數(shù)的求值、計算與證明問題，抽象函數(shù)是相對于函數(shù)有具體解析式而言的，賦值法是解決抽象函數(shù)的一把“利劍”，本題屬于中檔題．