Question

若正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則

AP

 • (

PB

+

PD

)的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：借助正方形的兩鄰邊建立直角坐標(biāo)系，將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式的運(yùn)算，利用向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式表示成二次函數(shù)，通過(guò)配方找出對(duì)稱軸，求出最值．

解答：解：以AB，AC 為x，y軸建立直角坐標(biāo)系則
A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）
設(shè)P（x，x）（0≤x≤1）

AP

=(x，x)， 

PB

=(1-x，-x)，

PD

=(-x，1-x)
∴

AP

• (

PB

+

PD

)=2x（1-2x）
=-4(x-

1

4

)2+

1

4

  （0≤x≤1）
所以當(dāng)x=

1

4

時(shí)，函數(shù)有最大值

1

4

；當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有最小值-2
故答案為[-2，

1

4

]

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)建立坐標(biāo)系將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式；配方法求二次函數(shù)的最值．