Question

（2012•湖南）設(shè)N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），將N個(gè)數(shù)x₁，x₂，…，x_N依次放入編號(hào)為1，2，…，N的N個(gè)位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N．將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前

N

2

和后

N

2

個(gè)位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，
將此操作稱(chēng)為C變換，將P₁分成兩段，每段

N

2

個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到P₂，當(dāng)2≤i≤n-2時(shí)，將P_i分成2ⁱ段，每段

N

2i

個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到P_i+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此時(shí)x₇位于P₂中的第4個(gè)位置．
（1）當(dāng)N=16時(shí)，x₇位于P₂中的第

6

個(gè)位置；
（2）當(dāng)N=2ⁿ（n≥8）時(shí)，x₁₇₃位于P₄中的第

3×2^n-4+11

個(gè)位置．

Answer 1

分析：（1）由題意，可按照C變換的定義把N=16時(shí)P₂列舉出，從中查出x₇的位置即可；
（2）根據(jù)C變換的定義及歸納（1）中的規(guī)律可得出P₄中所有的數(shù)字分為16段，每段的數(shù)字序號(hào)組成以16為公差的等差數(shù)列，且一到十六段的首項(xiàng)的序號(hào)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可確定出x₁₇₃位于P₄中的位置．

解答：解：（1）當(dāng)N=16時(shí)，P₀=x₁x₂…x₁₆．由C變換的定義可得P₁=x₁x₃…x₁₅x₂x₄…x₁₆，
又將P₁分成兩段，每段

N

2

個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到P₂，故P₂=x₁x₅x₉x₁₃x₃x₇x₁₁x₁₅x₂x₆x₁₀x₁₄x₄x₈x₁₂x₁₆，由此知x₇位于P₂中的第6個(gè)位置；
（2）考察C變換的定義及（1）計(jì)算可發(fā)現(xiàn)，第一次C變換后，所有的數(shù)分為兩段，每段的序號(hào)組成公差為2的等差數(shù)列，且第一段序號(hào)以1為首項(xiàng)，第二段序號(hào)以2為首項(xiàng)；第二次C變換后，所有的數(shù)據(jù)分為四段，每段的數(shù)字序號(hào)組成以4公差的等差數(shù)列，且第一段的序號(hào)以1為首項(xiàng)，第二段序號(hào)以3為首項(xiàng)，第三段序號(hào)以2為首項(xiàng)，第四段序號(hào)以4為首項(xiàng)，依此類(lèi)推可得出P₄中所有的數(shù)字分為16段，每段的數(shù)字序號(hào)組成以16為公差的等差數(shù)列，且一到十六段的首項(xiàng)的序號(hào)分別為1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x₁₇₃位于以13為首項(xiàng)的那一段的第11個(gè)數(shù)，由于N=2ⁿ（n≥8）故每段的數(shù)字有2^n-4個(gè)，以13為首項(xiàng)的是第四段，故x₁₇₃位于第3×2^n-4+11=3×2^n-4+11個(gè)位置．
故答案為3×2^n-4+11

點(diǎn)評(píng)：本題考查演繹推理及歸納推理，解題的關(guān)鍵是理解新定義，找出其規(guī)律，本題是探究型題，運(yùn)算量大，極易出錯(cuò)，解題進(jìn)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，避免馬虎出錯(cuò)