Question

20．已知函數(shù)f（x）對(duì)?x∈R都有f（x）=f（4-x），且其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足當(dāng)x≠2時(shí)，（x-2）f′（x）＞0，則當(dāng)2＜a＜4時(shí)，有（　　）

• A． f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B． f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
• C． f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• D． f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由（x-2）f′（x）＞0，可知f（x）在（-∞，2）與（2，+∞）上的單調(diào)性，從而可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
又當(dāng)x≠2時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
同理可得，當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）在（-∞，2）單調(diào)遞減；
f（x）的最小值為f（2）
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，又4＜2^a＜16，f（log₂a）=f（4-log₂a），f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
∴f（log₂a）＜f（2^a），
∴f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性的運(yùn)用，綜合運(yùn)用對(duì)數(shù)解決問題的能力，屬于中檔題．