Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=-

1

2

，a_n²+（a_n+1+2）a_n+2a_n+1+1=0．
求證：（1）-1＜a_n＜0；
（2）a_2n＞a_2n-1對一切n∈N^*都成立；
（3）數(shù)列{a_2n-1}為遞增數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）用數(shù)學歸納法，①由題設條件知a_n+1=-a_n-

1

an+2

．當n=1時成立；②假設當n=k時結論成立，即-1＜a_k＜0，那么當n=k+1時，a_k+1=-（a_k+2）-

1

ak+2

+2．由此導出-1＜a_k+1＜0，當n=k+1時結論成立．由①②知，對一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①當n=1時，a₂=-

1

6

＞a₁=-

1

2

成立；②假設當n=k（k≥1且k∈N）時結論成立，即a_2k＞a_2k-1，由此能推導出a_2k+2＞a_2k+1，當n=k+1時結論成立．由①②知對一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）由a_n+1+a_n=-

1

an+2

，知a_n+2+a_n+1=-

1

an-1+2

．由此能導出a_2n+1-a_2n-1=

a2n-a2n-1

(a2n-1+2)(a2n+2)

＞0，即數(shù)列{a_2n-1}為遞增數(shù)列．

解答：證明：已知條件可化為（a_n+1+a_n）（a_n+2）+1=0，
即a_n+1=-a_n-

1

an+2

．
（1）①當n=1時已成立；
②假設當n=k時結論成立，即-1＜a_k＜0，
那么當n=k+1時，a_k+1=-（a_k+2）-

1

ak+2

+2．
∵1＜a_k+2＜2，又y=t+

1

t

在t∈（1，2）內為增函數(shù)，
∴a_k+2+

1

ak+2

∈（2，

5

2

），
∴a_k+1∈（-

1

2

，0），則-1＜a_k+1＜0，
∴當n=k+1時結論成立．
由①②知，對一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①當n=1時，a₂=-

1

6

＞a₁=-

1

2

成立；
②假設當n=k（k≥1且k∈N）時結論成立，即a_2k＞a_2k-1，
∴1＜a_2k-1+2＜a_2k+2＜2，
∴a_2k-1+2+

1

a2k-1+2

＜a_2k+2+

1

a2k+2

，
∴-a_2k-1-

1

a2k-1+2

＞-a_2k-

1

a2k+2

，即a_2k＞a_2k+1．
同上法可得a_2k+2＞a_2k+1，
∴當n=k+1時結論成立．
由①②知對一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）a_n+1+a_n=-

1

an+2

，則a_n+2+a_n+1=-

1

an-1+2

．
兩式相減得
a_n+2-a_n=

1

an+2

-

1

an-1+2

=

-an

(an+2)(an-1+2)

．
若把上式中的n換成2n-1，
則a_2n+1-a_2n-1=

a2n-a2n-1

(a2n-1+2)(a2n+2)

＞0，
∴數(shù)列{a_2n-1}為遞增數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的綜合性質和應用，解題時要認真審題，注意數(shù)學歸綱法的合理運用．