Question

7．如圖，在四邊形PABC中，PB⊥AC，AD=BD=1，AC=3，E是PC上一點(diǎn)，且PE：EC=1：2，現(xiàn)將△PAC沿AC進(jìn)行翻折，得到如圖②所示的三棱錐P-ABC．
（1）證明：DE∥平面PAB；
（2）證明：在翻折的過(guò)程中，總有平面PDB⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）由平行線分線段成比例定理得到DE∥PA，由此能證明DE∥平面PAB．
（2）由已知得PD⊥AC，BD⊥AC，從而得到AC⊥平面PBD，由此能證明在翻折的過(guò)程中，總有平面PDB⊥平面ABC．

解答 （1）證明：∵在四邊形PABC中，PB⊥AC，AD=BD=1，AC=3，E是PC上一點(diǎn)，且PE：EC=1：2，
∴$\frac{CE}{PE}=\frac{CD}{AD}$=$\frac{2}{1}$，∴DE∥PA，
將△PAC沿AC進(jìn)行翻折，得到如圖②所示的三棱錐P-ABC后，
仍有DE∥PA，
∵DE?平面PAB，PA?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．
（2）證明：∵在四邊形PABC中，PB⊥AC，
將△PAC沿AC進(jìn)行翻折，得到如圖②所示的三棱錐P-ABC，
∴PD⊥AC，BD⊥AC，又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面ABC，∴在翻折的過(guò)程中，總有平面PDB⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．