(2011•洛陽二模)給出下列命題:
①設(shè)向量
e1
,
e2
滿足|
e1
|=2,|
e2
|=1,
e1
e2
的夾角為
π
3
.若向量2t
e1
+7
e2
e1
+t
e2
的夾角為鈍角,則實數(shù)t的取值范圍是(-7,-
1
2
);
②已知一組正數(shù)x1,x2,x3,x4的方差為s2=
1
4
(x12+x22+x32+x42)-4,則x1+1,x2+1,x3+1,x4+1的平均數(shù)為1
③設(shè)a,b,c分別為△ABC的角A,B,C的對邊,則方程x2+2ax+b2=o與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°;
④若f(n)表示n2+1(n∈N)的各位上的數(shù)字之和,如112+1=122,1+2+2=5,所以f(n)=5,記f1(n)=f(n),f2(n)=f[f1(n)],…fk+1(n)=f[fk(n)],k∈N,則f20(5)=11.
上面命題中,假命題的序號是
 (寫出所有假命題的序號).
分析:①依據(jù)兩向量夾角為鈍角,得到其數(shù)量積小于零,即可得到;
②根據(jù)方差的公式求得原數(shù)據(jù)的平均數(shù)后,求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù);
③從充分性與必要性兩方面給出證明;
④考查歸納猜想的能力及數(shù)列的周期性.
解答:解:①、由于向量2t
e1
+7
e2
e1
+t
e2
的夾角為鈍角,則2t
e1
+7
e2
e1
+t
e2
的數(shù)量積小于0,
即2t2+15t+7<0,解得-7<t<-
1
2
,故①正確;
②、由于s2=
1
n
[(x1-
.
x
)2
+(x2-
.
x
)
2
+…+(xn-
.
x
)
2
],
則s2=
1
4
[x12+x22+x32+x42-2(x1+x2+x3+x4)•
.
x
+4•
.
x
2
]=
1
4
[(x12+x22+x32+x42)-4
.
x
2]
=
1
4
(x12+x22+x32+x42)-
.
x
2
=
1
4
(x12+x22+x32+x42)-4,所以
.
x
=2
對于數(shù)據(jù)x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1,則其平均數(shù)是
.
x
+1=3,故②錯;
③由于方程x2+2ax+b2=o與x2+2cx-b2=0有公共根,不妨設(shè)為α,
α2+2aα+b2=0
α2+2cα-b2=0
 
 

∴2α2+2α(a+c)=0.
∴α=-(a+c),將α=-(a+c)代入①得到:a2=b2+c2,∴∠A=90°
∵∠A=90°,∴a2=b2+c2,
于是方程x2+2ax+b2=0可化為x2+2ax+a2-c2=0,
即[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,所以該方程有兩根x1=-(a+c),x2=-(a-c).
同理方程x2+2cx-b2=0有兩根x3=-(a+c),x4=-(c-a),發(fā)現(xiàn)x1=x3,
所以這兩個方程有公共根.
綜上可知,方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是A=90°,故③正確;
④由于52=25,25+1=26,6+2=8,∴f1(5)=f(5)=8;
82=64,64+1=65,6+5=11,∴f2(5)=11.
112=121,121+1=122,1+2+2=5,∴f3(5)=5;
52=25,25+1=26,2+6=8,∴f4(5)=8;
由此猜想{fk(5)}是一個周期為3的數(shù)列,而3×8+2=20
所以f20(5)=f2(5)=11,故④正確.
故答案為②
點評:本題考查的知識點是,判斷命題真假,分別考查了數(shù)量積,方差,充要條件及數(shù)列的相關(guān)知識,我們需對四個結(jié)論逐一進行判斷,方可得到正確的結(jié)論.
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(
1
2
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f′(x)
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1
2
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112
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52
t-1
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