Question

過拋物線y²=4x頂點O的直線l₁、l₂與拋物線的另一個交點分別為A、B，l₁⊥l₂，OD⊥AB，垂足為D，則D點的軌跡方程為（　�。�

• A、y²=x（x≠0）
• B、

  x2

  4

  -y2=1(x≥2）
• C、（x-2）²+y²=4（x≠0）
• D、（x-2）²+y²=4

Answer 1

分析：設出直線OA的方程，根據(jù)l₁⊥l₂，可得直線OB的方程，聯(lián)立方程組，分別求出點A和點B，得到直線AB的方程，發(fā)現(xiàn)直線AB恒過定點（4，0），利用幾何關系可得點D到定點（2，0）的距離等于定長2，可得點D的軌跡方程．

解答：解：設直線OA的方程為y=kx，則

y=kx y2=4x

，消去y得x=

4

k2

，
∴點A的坐標為（

4

k2

，

4

k

），
∵l₁⊥l₂，
∴直線OA的方程為y=-

1

k

x，點B的坐標為（4k²，-4k），
則直線AB的斜率為

4 k +4k

4 k2 -4k2

=

k

1-k2

，
∴直線AB的方程為y+4k=

k

1-k2

（x-4k²），
整理可得，y=

k

1-k2

（x-4），
故直線AB經過定點（4，0），
∵OD⊥AB，垂足為D，則OD的垂直平分線必定經過點（2，0），
∴點（2，0）到原點O的距離等于到點D的距離，
又點（2，0）到原點O的距離為2，
∴點D到定點（2，0）的距離恒為定值2，
根據(jù)圓的定義可知，點D的軌跡是一個以（2，0）為圓心，2為半徑的一個圓，
∴點D的軌跡方程為（x-2）²+y²=4，
故選：D．

點評：本題主要考查了交點軌跡問題，此題為教材習題的改編題，其中直線AB經過定點（4，0）是解題的關鍵，屬于中檔題．