Question

已知向量

a

=(3，-2)，

b

=(4，1)；（1）求

a

•

b

；|

a

+

b

|；  （2）求

a

與

b

的夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）若兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，則向量

a

與

b

的數(shù)量積為：

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂，并且向量

m

=(x，y)模的公式為|

m

|=

x2+y2

．利用以上兩個(gè)公式，即可求出

a

•

b

和|

a

+

b

|；
（2）根據(jù)向量模的公式分別求出|

a

|、|

b

|，再結(jié)合公式

a

•

b

=|

a

|• |

b

| cosθ，可以算出

a

與

b

的夾角的余弦值．

解答：解：（1）∵

a

=(3，-2)，

b

=(4，1)
∴

a

•

b

=3×4+（-2）×1=10
∵

a

+

b

=(3+4，-2+1)=(7，-1)
∴|

a

+

b

|= 

72+(-1)2

= 5

2

（2）∵

a

=(3，-2)，

b

=(4，1)
∴|

a

| =

32+(-2)2

=

13

，|

b

| =

42+12

=

17

設(shè)

a

與

b

的夾角為θ，由

a

•

b

=|

a

|• |

b

| cosθ得
cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

10

13 • 17

=

10 221

221

∴

a

與

b

的夾角的余弦值為

10 221

221

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積公式、長(zhǎng)度公式和夾角公式，屬于中檔題．向量的長(zhǎng)度公式和夾角公式都是由向量的數(shù)量積公式變形而來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們加以注意．