Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用奇函數(shù)定義f（x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；
（Ⅱ）設(shè)x₁＜x₂然后確定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（III）結(jié)合單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識(shí)求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即

b-1

2+2

=0?b=1，
∴f(x)=

1-2x

2+2x+1

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設(shè)x₁＜x₂則f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

因?yàn)楹瘮?shù)y=2^x在R上是增函數(shù)且x₁＜x₂∴f（x₁）-f（x₂）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)
（III）f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對(duì)一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式 △=4+12k＜0?k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略，是一道綜合題．