Question

已知點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足

PA

•

PB

=y2-8；
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡方程與直線y=x+2交于C、D兩點；求證OC⊥OD（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）由

PA

=(-x，-2-y)，

PB

=(-x，4-y)，代入

PA

•

PB

=y2-8可求
（2）聯(lián)立

y=x+2 x2=2y

，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4，代入到

OC

•

OD

=x₁x₂+y₁y₂可證OC⊥OD

解答：解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）
∴

PA

=(-x，-2-y)，

PB

=(-x，4-y)
∵

PA

•

PB

=y2-8
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y²-8
整理可得，x²=2y
（2）聯(lián)立

y=x+2 x2=2y

可得x²-2x-4=0
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=4
∵

OC

•

OD

=x₁x₂+y₁y₂=0
∴OC⊥OD

點評：本題主要考查了利用向量的數(shù)量積的坐標表示求解點的軌跡方程，直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了計算的能力．