已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足
PA
•
PB
=y2-8；
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡方程與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)；求證OC⊥OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
分析：（1）由
PA
=(-x，-2-y)，
PB
=(-x，4-y)，代入
PA
•
PB
=y2-8可求
（2）聯(lián)立
y=x+2
x2=2y
，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x1+x2，x1x2，由y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，代入到
OC
•
OD
=x1x2+y1y2可證OC⊥OD
解答：解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）
∴
PA
=(-x，-2-y)，
PB
=(-x，4-y)
∵
PA
•
PB
=y2-8
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y2-8
整理可得，x2=2y
（2）聯(lián)立
y=x+2
x2=2y
可得x2-2x-4=0
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=2，x1x2=-4，
∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4
∵
OC
•
OD
=x1x2+y1y2=0
∴OC⊥OD
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解點(diǎn)的軌跡方程，直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了計(jì)算的能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（0，2）拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段FA交拋物線與點(diǎn)B，過(guò)B做l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，2）、B（1，1），直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與線段OA相交．則直線 l 傾斜角α的取值范圍是
（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寧波二模）在直角坐標(biāo)平面上，已知點(diǎn)A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，如果|AM|≤2|BM|恒成立，則正實(shí)數(shù)t的最小值是
2
3
3
2
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足
PA
•
PB
=y2-8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是
x2=2y
x2=2y
．

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