Question

已知f（x）=ax++2-2a（a＞0）在圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（1）求a，b滿足的關系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）若a=1，數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=f（a_n）+2-a_n（n∈N^*），求證：a₁•a₂•a₃…a_n=n+1．

Answer 1

（1）解：求導函數可得f′（x）=a-，根據題意f′（1）=a-b=2，即b=a-2；
（2）解：由（1）知，f（x）=ax++2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax++2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
則g（1）=0，g′（x）=
①當0＜a＜1時，，若1＜x＜，則g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）減函數，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜2lnx在[1，+∞）上恒成立；
②a≥1時，，當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求的取值范圍是[1，+∞）；
（3）證明：取a=1得f（x）=x-，所以a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-
∴a_n+1-1=，∴=+1
∴{}是等差數列，首項為，公差為1，
∴=n，∴
∴a₁•a₂•…a_n=••…•=n+1．
分析：（1）求導函數，利用圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，可求a，b滿足的關系式；
（2）構造g（x）=f（x）-2lnx，求導函數，分類討論，確定函數的單調性，即可求得結論；
（3）取a=1得f（x）=x-，利用a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-，可得{}是等差數列，首項為，公差為1，從而可得數列通項，即可證得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．