現(xiàn)有長(zhǎng)度為48cm和面積為Sm2的鐵皮,用鋼管焊接一個(gè)長(zhǎng)方體框架,再用鐵皮圍在框架的六個(gè)表面做成一個(gè)長(zhǎng)方體水箱(不考慮建材和焊接的損失).
(1)無(wú)論如何焊接長(zhǎng)方體,若要確保鐵皮夠用,求鐵皮面積S的最小值.
(2)若鐵皮面積為90m2,如何設(shè)計(jì)長(zhǎng)方體的尺寸才能使水箱容積最大?并求最大容積.
分析:(1)長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,由已知可得x+y+z=12,利用基本不等式要求出水箱表面積S的最小值;
(2)若鐵皮面積為90m2,則ab+bc+ca=45,設(shè)體積V=abc,可得
1
a
+
1
b
+
1
c
=
45
V
,利用基本不等式,可求出體積的最大值.
解答:解:(1)設(shè)長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,
則4(x+y+z)=48,即
x+y+z=12
此時(shí),長(zhǎng)方體水箱的表面積S=2(xy+yz+xz)
∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=
1
2
[(x2+y2)+(x2+z2)+(y2+z2)]+2(xy+yz+xz)≥3(xy+yz+xz)
∴S≤
2
3
(x+y+z)2=96
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=4時(shí),鐵皮面積S的最小值為96m2
(2)∵2(ab+bc+ca)=90
∴ab+bc+ca=45…①
設(shè)V=abc…②
①÷②得
1
a
+
1
b
+
1
c
=
45
V

45
V
≥3
3
1
abc
=3
3
1
V

∴V≤15
15

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=
15
時(shí)取等
即長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高均為
15
m時(shí),水箱的體積最大,最大體積為15
15
m3
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是基本不等式,是基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,其中根據(jù)已知分析出“定”值是解答的關(guān)鍵.
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