Question

15．某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設(shè)f（n）表示前n年的純利潤總和（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）．
（Ⅰ）該廠從第幾年開始盈利？（盈利指的是純利潤總和要大于0）
（Ⅱ）該投資商計(jì)劃在年平均純利潤達(dá)到最大時(shí)，以48萬元出售該廠．問：需多少年后其年平均純利潤才可達(dá)到最大，此時(shí)共獲利多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意可得f（n）=-2n²+40n-72，令f（n）＞0，可得滿足條件的n值．
（Ⅱ）$\frac{f（n）}{n}$=40-2（n+$\frac{36}{n}$）利用基本不等式，可得最大值及最大值點(diǎn)．

解答 解：由題意知f（n）=50n-[12n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4]-72=-2n²+40n-72，…（3分）
（Ⅰ）由f（n）＞0即-2n²+40n-72＞0得：2＜n＜18　…（7分）
由n∈N^*知，從第三年開始盈利　　　　…（8分）
（Ⅱ）年平均純利潤$\frac{f（n）}{n}$=40-2（n+$\frac{36}{n}$），
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號成立．…（11分）
故共獲利6×16+48=144（萬元），…（13分）
答：需6年后其年平均純利潤才可達(dá)到最大，共獲利144（萬元）…（14分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，難度中檔．