Question

如圖，已知橢圓Γ：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，短軸右端點為A，M（1，0）為線段OA的中點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）過點M任作一條直線與橢圓Γ相交于兩點P，Q，試問在x軸上是否存在定點N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據離心率e=

2

2

，短軸右端點為A，M（1，0）為線段OA的中點，求出幾何量，即可求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）分類討論，設PQ的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程化簡，若∠PNM=∠QNM，則k_PN+k_QN=0，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，b=2，又e=

2

2

，即

a2-4

a

=

2

2

，解得a=2

2

，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

8

=1．…（4分）
（Ⅱ）假設存在點N（x₀，0）滿足題設條件．
當PQ⊥x軸時，由橢圓的對稱性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x₀∈R； …（6分）
當PQ與x軸不垂直時，設PQ的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程化簡得：
（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

2k2

2+k2

，x1x2=

k2-8

2+k2

則kPN+kQN=

y1

x1-x0

+

y 2

x2-x0

=

k(x1-1)

x1-x0

+

k(x2-1)

x2-x0

=

k(x1-1)(x2-x0)+k(x2-1)(x1-x0)

(x 1-x0)(x2-x0)

=

2(k2-8)

2+k2

-

2(1+x0)k2

2+k2

+2x0…（10分）
若∠PNM=∠QNM，則k_PN+k_QN=0
即k[

2(k2-8)

2+k2

-

2(1+x0)k2

2+k2

+2x0]=0，整理得4k（x₀-4）=0
因為k∈R，所以x₀=4
綜上在x軸上存在定點N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…（12分）

點評：本題考查橢圓的幾何性質與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．