Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓的普通方程為．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出圓的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)Q在上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）圓的參數(shù)方程：，直線：；（2），此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）整理圓的方程為,即可寫出參數(shù)方程,利用將直線方程寫為直角坐標(biāo)方程即可；

（2）法一：利用參數(shù)方程設(shè)曲線上的點(diǎn),利用點(diǎn)到直線距離公式可得,則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求處最值,并將代回求得坐標(biāo)；

法二：為圓心到直線距離減去半徑,再利用弦與直線垂直的性質(zhì)得所在直線為,聯(lián)立直線與圓的方程即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）圓的方程可化為,圓心為,半徑為,

∴圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,

直線的極坐標(biāo)方程可化為,

∵,∴直線的直角坐標(biāo)方程為

（2）法一：設(shè)曲線上的點(diǎn),

點(diǎn)到直線：的距離：

,

當(dāng)時(shí),,

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

法二：曲線是以為圓心,半徑為的圓,

圓心到直線的距離,

所以,

此時(shí)直線經(jīng)過圓心,且與直線垂直,

,所以,所在直線方程為,即,

聯(lián)立直線和圓的方程,解得或,

當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,

所以,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為