Question

20. 設，.

（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；

（Ⅱ）試找出一個奇數(shù)，使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列中的所有項都是數(shù)列中的項，并指出是數(shù)列中的第幾項.

Answer 1

解：（Ⅰ）當n≥2時，由已知得.

因為a_n=S_n-S_n-1≠0,所以S_n＋S_n-1=3n².　 ①

于是S_n+1＋S_n＝3(n+1)².　                       ②

由②－①得：a_n+1+a_n=6n+3.　                 ③

于是a_n+2+a_n+1=6n+9.　                         ④

由④－③得：a_n+2 - a_n＝6.　                     ⑤

即數(shù)列｛a_n+2–a_n｝(n≥2)是常數(shù)數(shù)列.

（Ⅱ）由①有S₂＋S₁＝12,所以a₂=12-2a，由③有a₃+a₂=15，所以a₃=3+2a.

而⑤表明：數(shù)列｛a_2k｝和｛a_2k+1｝分別是以a₂、a₃為首項，6為公差的等差數(shù)列，

所以a_2k =a₂+(k-1)×6=6k-2a+6, a_{2k +1}=a₃+(k-1)×6＝6k+2a-3,k∈N*.

由題設知，b_n=18×7^n-1,當a為奇數(shù)時，a_{2k +1}為奇數(shù)，而b_n為偶數(shù)，所以b_n不是數(shù)列｛a_{2k +1}｝中的項，b_n只可能是數(shù)列｛a_2k｝中的項.

若b₁＝18是數(shù)列｛a_2k｝中的第k₀項，由18＝6k₀-2a+6得a=3k₀-6,取k₀＝3,得a=3，此時a_2k =6k,由b_n= a_2k得18×7^n-1＝6k,k=3×7^n-1∈N*,從而b_n是數(shù)列｛a_n｝中的第6×7^n-1項.

（注：答案取滿足a=3k₀-6,k₀∈N*的任一奇數(shù)，說明b_n是數(shù)列｛a_n｝中的第6×7^n-1＋－2項即可）