（2008•奉賢區(qū)模擬）對于函數(shù)f（x）=x•sinx，給出下列三個命題：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）是周期函數(shù)；③f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為
π2
．正確的是
①
①
（寫出所有真命題的序號）．
分析：①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來證明之；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對立面的形式說明其不成立；
③研究函數(shù)的單調(diào)性，可用兩個函數(shù)相乘時單調(diào)性的判斷方法進行判斷．
解答：解：對于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，①正確；
對于②，當x=2kπ+
π
2
時，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會是周期函數(shù)，故②錯；
對于③，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區(qū)間[0，
π
2
]上f'（x）＞0，在x=
π
2
時f'（x）＞0，f（
π
2
）=
π
2
；
所以在x=
π
2
的右邊，函數(shù)值繼續(xù)增大，故f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值大于
π
2
，故③錯．
故答案為：①．
點評：本題考點是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識性較強，做題時要注意準確運用相應的知識準確解題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)二模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2n-1，則a7=
64
64
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)二模）函數(shù)f(x)=
x2+x-2
的定義域為
（-∞，-2]∪[1，+∞）
（-∞，-2]∪[1，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)二模）函數(shù)f（x）=x（1-x），x∈（0，1）的最大值為
1
4
1
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)一模）我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)y=f（x）（x∈D），對任意x，y，
x+y
2
∈D均滿足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]，當且僅當x=y時等號成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大小．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=-x2，求證：g（x）∈M．
（3）已知函數(shù)f（x）=log2x∈M．試利用此結(jié)論解決下列問題：若實數(shù)m、n滿足2m+2n=1，求m+n的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)一模）我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0）），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*）．求證：bn=
2
7
•8n-
2
7
．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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