Question

（2008•奉賢區(qū)模擬）對(duì)于函數(shù)f（x）=x•sinx，給出下列三個(gè)命題：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）是周期函數(shù)；③f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為

π

2

．正確的是

①

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來(lái)證明之；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對(duì)立面的形式說(shuō)明其不成立；
③研究函數(shù)的單調(diào)性，可用兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷．

解答：解：對(duì)于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，①正確；
對(duì)于②，當(dāng)x=2kπ+

π

2

時(shí)，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會(huì)是周期函數(shù)，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區(qū)間[0，

π

2

]上f'（x）＞0，在x=

π

2

時(shí)f'（x）＞0，f（

π

2

）=

π

2

；
所以在x=

π

2

的右邊，函數(shù)值繼續(xù)增大，故f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值大于

π

2

，故③錯(cuò)．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對(duì)稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識(shí)性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意準(zhǔn)確運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)確解題．