Question

設(shè)f（x）=x（x-1）（x+1），請問下列哪些選項(xiàng)是正確的？
（1）f(

1

2

)＞0（2）f（x）=2有整數(shù)解    （3）f（x）=x²+1有實(shí)數(shù)解   （4）f（x）=x有不等于零的有理數(shù)解
（5）若f（a）=2，則f（-a）=2．

Answer 1

分析：（1）把

1

2

代入f（x）可得結(jié)論錯誤；（2）方程f（x）=2有整數(shù)解，即x³-x-2=0有整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³-x-2有整零點(diǎn)，利用反證法即可得到結(jié)論；（3）方程 f（x）=x²+1有實(shí)數(shù)解，即x³-x²-x-1=0為一整系數(shù)三次方程式，此方程式必有三個根；因?yàn)樘摳�必成共軛虛根出現(xiàn)，故此方程式必有一實(shí)根；（4）f（x）=x有不等于零的有理數(shù)解，即x（x-1）（x+1）=x，解此方程即可求得結(jié)論；（5）f（x）=x（x-1）（x+1）是奇函數(shù)，因此f（a）=2，則f（-a）=-2．

解答：解：（1）f(

1

2

)=

1

2

(

1

2

-1)(

1

2

+1)=

1

2

(

1- 2

2

)(

1

2

+1)＜0(∵1-

2

＜0)
（2）f（x）=2?x（x-1）（x+1）=2?x³-x-2=0
令g（x）=x³-x-2
若

b

a

為g（x）=0的有理根，則a|1，b|2，故

b

a

可為±1，±2．
但g（1）≠0，g（-1）≠0，g（2）≠0，g（-2）≠0，故g（x）=x³-x-2=0沒有整數(shù)解，即f（x）=x³-x=2沒有整數(shù)解．
（3）f（x）=x²+1?x³-x=x²+1?x³-x²-x-1=0為一整系數(shù)三
次方程式，此方程式必有三個根；因?yàn)樘摳�必成共軛虛根�?BR>現(xiàn)，故此方程式必有一實(shí)根．
（4）f(x)=x?x(x-1)(x+1)=x?x(x2-2)=0?x=0或±

2

，
故f（x）=x沒有不等于0的有理根．
（5）f（a）=2?a（a-1）（a+1）=2，則f（-a）=-a（-a-1）（-a+1）=-a（a+1）（a-1）=-2
故正確的是（3）

點(diǎn)評：此題是中檔題．考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系，以及函數(shù)的奇偶性，是道綜合題，同時考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計(jì)算能力．