Question

設(shè)，，其中a，b為非零實常數(shù)．
（1）若，，求x；
（2）若x∈R，試討論函數(shù)g（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）已知：對于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），當且僅當x₁=x₂時，等號成立．若a≥2，求證：函數(shù)g（x）在R上是遞增函數(shù)．

Answer 1

解：（1）由已知=，（2分）
由得：，（1分）
∵，（1分）
∴，． （1分）
（2）由已知，得，（1分）
①∵當時，對于任意的x∈R，總有g(shù)（-x）=-ax-sin（-2x）=-（ax-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)．（2分）（沒有過程扣1分）
②當時，∵或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)． （2分）（沒有過程扣1分）
（3）對于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，由已知，有sin2x₂-sin2x₁＜2（x₂-x₁），（2分）
∴g（x₁）-g（x₂）=a（x₁-x₂）+（sin2x₂-sin2x₁）＜（a-2）（x₁-x₂），
∵a≥2，∴g（x₁）-g（x₂）＜0． （3分）
故，函數(shù)g（x）是遞增函數(shù)． （1分）
注：由于用求導的方法證明不用已知條件，不給分．
分析：（1）由已知中=，根據(jù)，，我們要以構(gòu)造一個三角方程，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到答案．
（2）由已知中，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)，以及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對b的值進行分類討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到結(jié)論．
（3）由已知中對于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），已知中不應該含絕對值吧，結(jié)合已知中，利用作差法，易判斷出g（x₁）-g（x₂）＜0，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到結(jié)論．
點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的恒等變換應用，輔助角公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)問題比較綜合的考查，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．