Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）．
（1）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)出在各個(gè)區(qū)間上f（x）的單調(diào)性；
（4）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)出在各個(gè)區(qū)間上f（x）的單調(diào)性；
（4）根據(jù)函數(shù)的圖象和單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-3，3]，
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）對(duì)應(yīng)的圖象為：
（3）由圖象可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為[-3，-1]，[-1，0]，[0，1]，[1，3]．
其中遞增區(qū)間為[-1，0]，[1，3]．，遞減區(qū)間為[-3，-1]，[0，1]．
（4）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=（x-1）²-2的最小值且f（1）=-2，最大值為f（3）=2．
當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，f（x）=（x+1）²-2的最小值且f（-1）=-2，最大值為f（-3）=2．
故函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)利用函數(shù)奇偶性的定義以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．