Question

如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)過(guò)A點(diǎn)的一條母線為BC，其中B為頂點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作OB的垂線交OB于D，令圓錐體的體積為V，OC=R，DA=r，母線與軸夾角為∠OBA=∠β，求出上部?jī)蓚�(gè)圓錐的體積的和，再求出大圓錐的體積，兩個(gè)之比為，然后求出β的值．
解答：解；設(shè)過(guò)A點(diǎn)的一條母線為BC，其中B為頂點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作OB的垂線交OB于D，
令圓錐的體積為V，OC=R，DA=r，母線與軸夾角為∠OBO=∠β
將OBA看作是底面積相等的兩個(gè)錐形，
r²π•BD+r²π•0D=Vr²π•OB=V…①
V=R²π•OB…②
由①、②得
R²=2•r²（R=r），r=OA•COSβ
OA=R•COSβ，r=R•COS²β，COS²β==
β=
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題．