Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)是F，右頂點(diǎn)是A，虛軸的上端點(diǎn)是B，且

AB

•

AF

=-1，∠BAF=120°．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，4）的直線l交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q與雙曲線C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)

PQ

=λ1

OM

=λ2

ON

，且λ1+λ2=-

32

7

時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件可知A，B，F(xiàn)的坐標(biāo)根據(jù)

AB

•

AF

=-1和cosBAF=

AB • AF

| AB |•| AF |

聯(lián)立求得a和c，進(jìn)而求得b．雙曲線方程可得．
（Ⅱ）設(shè)l的方程，M和N的坐標(biāo)，依題意可得Q的坐標(biāo)，根據(jù)

PQ

=λ1

OM

=λ2

ON

表示出x₁和y₁，把M代入雙曲線方程整理后求得k，點(diǎn)Q的坐標(biāo)可得．

解答：解：（Ⅰ）由條件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．

AB

•

AF

=(-a，b)•(c-a，0)=a(a-c)=-1．①
cosBAF=

AB • AF

| AB |•| AF |

=

a(a-c)

c(c-a)

=-

a

c

=cos120°=-

1

2

．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．則b²=c²-a²=3．
故雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率k存在且不等于零，
設(shè)l的方程為：y=kx+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則Q(-

4

k

，0)．
∴

PQ

=λ1

QM

．
∴(-

4

k

•-4)=λ1(x1+

4

k

，y1)．
∴

- 4 k =λ1(x1+ 4 k ) -4=λ1y1.

?

x1=- 4 kλ1 - 4 k y1=- 4 λ1

∵M(jìn)（x₁，y₁）在雙曲線C上，
∴

16

k2

(

1+λ1

λ1

)2-

16

3 λ 2 1

-1=0．
∴16+32λ1+16

λ

2 1

-

16

3

k2-k2λ2=0．
∴(16-k2)

λ

2 1

+32λ1+16-

16

3

k2=0．
同理(16-k2)

λ

2 2

+32λ2+16-

16

3

k2-0．
若16-k²=0，則直線l過(guò)項(xiàng)點(diǎn)，不合題意，∴16-k²≠0
∴λ1，λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-

16

3

k2=0的兩根
∴λ1+λ2=

32

k2-16

=-

32

7

．
∴k²=9，此時(shí)△＞0，∴k=±3．
∴所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(±

4

3

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．